完全平方公式代数应用举例

完全平方公式是代数运算与变形的重要知识基础，是因式分解中常用到的公式。该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用，难点是对公式特征的理解（如对公式中积的一次项系数的理解等）。完全平方公式的基本形式有两种：(a+b)²=a²+2ab+b²和(a-b)²=a²-2ab+b²。

1. 顺用和简便运算中的应用

例1：已知a²+b²=13，aa，求代数式221aa的值。分析：本题可顺用完全平方公式求解，但仔细观察已知和所求会发现，与互为相反数，与也互为相反数，由于互为相反数的两个数的平方相等，于是采用整体代入的方法求解比较简便。解：原式===评析：本题关键应用了互为相反数的两个数的平方相等及整体代入的数学思想。

2. 逆用和非负数中的应用

例3：若是完全平方式，则k=？分析：由是完全平方式和,,逆用完全平方公式则可得出:,然后根据两个多项式相等的概念求解。解：因为==,所以,即:。 解析：完全平方式经常在练习和考试中出现，主要考查学生对完全平方公式特点的认识，学生也经常忘记对完全平方差公式的考查。此题逆用完全平方公式对完全平方式进行了全面考查。

3. 公式变形和综合中应用

例6：已知:,,则,。分析：此题可将要求的代数式,变形为含有已知条件与的形式,然后利用整体代入的方法求值。解:===13==评析：此题是将要求的代数式化为含已知条件的形式求解，同时也可以将已知条件化为含所求代数式的形式求解，但实质上都是一些完全平方公式的变形应用。

4. 特殊关系和降次代入中的应用

例8：已知:,求,和的值。分析：本题若根据已知先求,再代入求解比较麻烦,从而进一步寻找所求与已知的关系,由于,所以将已知两边同时除以即得的值,然后根据互为倒数的两数的平方的特殊关系进一步求解。 解:==评析：本题的关键是找到互为倒数的两数关系，然后主要依据互为倒数的两数的平方的特殊关系和整体代入的方法求解。

5. 公式推广中的应用

例10：计算:分析：本题是三项式的平方,同学们似乎感觉只能按多项式的乘法来计算,但若将三项式的前两项或后两项堪为一个整体,即可利用完全平方公式逐步求解。 解:原式===评析：本题实际上是完全平方公式的推广，同学们可以通过计算仔细观察、分析和归纳得出三项式平方的计算公式为:,从而也可以直接利用公式得到结果。

以上几种完全平方公式的应用只是我们数学问题中最常见最基本的应用，其它更多的应用需要同学们进一步的学习。总之，学习完全平方公式不能只局限于教师在课堂上讲的课本上的基本内容，更不能只是死记硬背公式。