如何运用立方差公式解题

立方差公式是数学中常用的公式之一，在高中数学中接触到这个公式，并且在数学研究中占有很重要的地位，甚至在高等数学、微积分中也经常用到。立方差公式与立方和公式共称为完全立方公式。具体为：两数的平方和加上两数的积再乘以两数的差，所得到的积就等于两数的立方差。用公式表达即：a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)。

例题分析

学会运用立方和差公式进行解题是非常重要的。例如，我们可以参考以下例题：

例题1：已知 x³+x²-12=0，求 x³ 的值。

解题思路：首先，我们可以尝试将等式重新排列，得到 x³=-(x²-12)。然后，我们可以利用立方差公式，将等式右边的 x²-12 写成 (x-2√3)(x+2√3)，从而得到 x³=(x-2√3)(x+2√3)x。

例题2：分解因式：x³-x²+2x-8。

解题思路：观察待分解的多项式，可以发现它符合立方差公式的特征。因此，我们可以将其写成 (x-2)(x²+2x+4) 的形式，进一步分解得到 (x-2)(x+2)²。

推导过程

立方差公式的推导过程可以通过两种方法完成：

方法一：利用立方差的定义，即 (a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³，通过变换和简化得到 a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)。

方法二：添加项法。将 a³-b³ 分别写成 a³-a²b+a²b-b³，然后分别提取公因式，得到 a²(a-b)+b(a²-b²)，进一步简化为 (a-b)[a²+b(a+b)]，最终得到 (a-b)(a²+ab+b²)。

综上所述，立方差公式在解题过程中发挥着重要作用，尤其是在处理涉及立方运算的问题时。通过熟练掌握这个公式，可以有效地简化问题，并快速找到解决问题的方法。