补项法的典型例题

补项法是一种在解决特定数学问题时使用的技巧，主要用于因式分解。以下是补项法的一些典型例题：

例题1：因式分解

原题：分解因式：a^4+4b^4。

解题过程：

- 我们可以看到，这是一个四项式，我们可以尝试通过拆项和添项的方法来分解因式。

- 首先，我们可以将原式拆分为：a^4+4a^2b^2+4b^4-4a^2b^2。

- 然后，我们可以看到前三项可以组成完全平方式（a^2+2ab+2b^2）。

- 接下来，我们将最后一项（-4a^2b^2）作为一个整体来看待，它可以看作是（2ab）的平方。

- 最后，我们可以将原式分解为：(a^2+2ab+2b^2)(a^2-2ab+2b^2)。

例题2：补项后的因式分解

原题：分解因式：x^4+14x^2y^2+81y^4。

解题过程：

- 同样地，我们可以将原式拆分为：x^4+14x^2y^2+4x^2y^2+81y^4-4x^2y^2。

- 现在前三项也可以组成完全平方式（x^2+9y^2）。

- 最后，我们将最后一项（-4x^2y^2）作为一个整体来看待，它可以看作是（2xy）的平方。

- 因此，我们可以将原式分解为：(x^2+9y^2)^2-(2xy)^2。

通过这些例题，我们可以看出补项法的关键在于通过拆项和添项的方式，使得原式能够被分解为更容易处理的部分。这种技巧需要一定的数学基础和实践经验才能熟练掌握。